حل کاردرکلاس صفحه 88 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 88 ریاضی دوازدهم ### الف) $f(x) = (x^2 + 1)^3 (5x - 1)$ این تابع حاصل **ضرب دو تابع**، $u = (x^2 + 1)^3$ و $v = 5x - 1$ است. از **قاعده ضرب** $(uv)' = u'v + v'u$ استفاده می‌کنیم. 1. **محاسبه مشتق $u'$:** از **قاعده زنجیره‌ای** برای $u = (x^2 + 1)^3$ استفاده می‌کنیم. $$u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot (x^2 + 1)' = 3(x^2 + 1)^2 (2x) = 6x(x^2 + 1)^2$$ 2. **محاسبه مشتق $v'$:** $$v' = (5x - 1)' = 5$$ 3. **محاسبه $f'(x)$:** $$f'(x) = u'v + v'u = 6x,^2(5x - 1) + [5](x^2 + 1)^3$$ 4. **ساده‌سازی (فاکتورگیری):** عامل مشترک $(x^2 + 1)^2$ است. $$f'(x) = (x^2 + 1)^2 \left[ 6x(5x - 1) + 5(x^2 + 1) \right]$$ $$f'(x) = (x^2 + 1)^2 [30x^2 - 6x + 5x^2 + 5]$$ $$\mathbf{f'(x) = (x^2 + 1)^2 (35x^2 - 6x + 5)}$$ --- ### ب) $g(x) = (\frac{-3x - 1}{x^2 + 5})^4$ این تابع یک **تابع مرکب** به شکل $g(x) = u^4$ است که در آن $u = \frac{-3x - 1}{x^2 + 5}$ است. از **قاعده زنجیره‌ای** $g'(x) = 4u^3 \cdot u'$ استفاده می‌کنیم. 1. **محاسبه مشتق $u'$ (قاعده خارج قسمت):** $u = \frac{a}{v}$ که $a = -3x - 1$ و $v = x^2 + 5$. * $a' = -3$ * $v' = 2x$ $$u' = \frac{a'v - v'a}{v^2} = \frac{(-3)(x^2 + 5) - (2x)(-3x - 1)}{(x^2 + 5)^2}$$ $$u' = \frac{-3x^2 - 15 - (-6x^2 - 2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-3x^2 - 15 + 6x^2 + 2x}{(x^2 + 5)^2}$$ $$u' = \frac{3x^2 + 2x - 15}{(x^2 + 5)^2}$$ 2. **محاسبه $g'(x)$ (قاعده زنجیره‌ای):** $$g'(x) = 4u^3 \cdot u' = 4 \left( \frac{-3x - 1}{x^2 + 5} \right)^3 \cdot \left( \frac{3x^2 + 2x - 15}{(x^2 + 5)^2} \right)$$ $$\mathbf{g'(x) = 4 \frac{(-3x - 1)^3 (3x^2 + 2x - 15)}{(x^2 + 5)^5}}$$